PROB-04 数理统计基础
PROB-04 数理统计基础
一、基本概念
数理统计的核心任务是从样本数据推断总体的特征。总体是我们关心的全部研究对象，样本是从总体中抽取的部分个体。
样本均值：X̄=(1/n)ΣXi，最常用的统计量，用于估计总体均值。
样本方差：S²=1/(n-1)Σ(Xi-X̄)²，用于估计总体方差。除以n-1而不是n是为了保证无偏性。
二、三大抽样分布
2.1 χ²分布（卡方分布）
设Z₁,...,Zn独立服从N(0,1)，则它们的平方和服从χ²分布：
χ²=Z₁²+...+Zn²~χ²(n)，n称为自由度。
χ²分布的一个重要性质：期望等于自由度，方差等于2倍自由度。
2.2 t分布
设ZN(0,1)，Vχ²(n)，且Z与V独立，则：
t=Z/√(V/n)~t(n)
t分布的形状类似标准正态分布，但尾部更厚（包含更多极端值）。随着自由度n增大，t分布趋近于标准正态分布。
2.3 F分布
设V₁χ²(n₁)，V₂χ²(n₂)，且V₁与V₂独立，则：
F=(V₁/n₁)/(V₂/n₂)~F(n₁,n₂)
F分布只取非负值，且是右偏的。它在方差分析和回归分析中有广泛应用。
三、正态总体的抽样分布定理
从正态总体N(μ,σ²)中抽取容量为n的样本，以下结论非常重要：
- X̄的分布：X̄~N(μ,σ²/n)。即样本均值也服从正态分布，均值不变，方差缩小为原来的1/n。
- 样本方差的分布：(n-1)S²/σ²~χ²(n-1)。
- t统计量：T=(X̄-μ)/(S/√n)~t(n-1)。当总体方差未知时，用S代替σ，统计量从正态分布变为t分布。
- 独立性：X̄和S²相互独立。
例：从正态总体N(μ,σ²)中抽取容量为25的样本，求P{(X̄-μ)/(σ/5) > 1.645}。
(X̄-μ)/(σ/5)=(X̄-μ)/(σ/√25)=Z~N(0,1)
P{Z>1.645}=1-Φ(1.645)=1-0.95=0.05
所以这个事件的概率是0.05。
例：两个独立总体，XN(0,1)抽取10个样本，YN(0,1)抽取15个样本，F=Sx²/Sy²服从什么分布？
F~F(9,14)。因为总体方差相等（均为1），所以Sx²/Sy²就是两个独立χ²统计量的比值。