PROB-03 数字特征、大数定律与中心极限定理

一、数学期望

期望是随机变量取值的"加权平均"，反映了随机变量的集中趋势。

离散型：E(X)=Σxi·pi（每个取值乘以其概率后求和）
连续型：E(X)=∫x·f(x)dx（x乘以密度函数的积分）

期望的性质：

1. E(c)=c（常数）
2. E(aX+b)=aE(X)+b（线性变换）
3. E(X±Y)=E(X)±E(Y)（线性可加性，不需要独立）
4. 如果X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

二、方差

方差衡量随机变量取值偏离期望的程度。方差越大，数据越分散。

D(X)=E[(X-E(X))²]=E(X²)-[E(X)]²

方差的性质：

1. D(c)=0
2. D(aX+b)=a²D(X)
3. 如果X与Y独立，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)

三、协方差与相关系数

协方差Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)

相关系数ρXY=Cov(X,Y)/√(D(X)D(Y))

相关系数ρ的取值范围是[-1,1]，它衡量了X与Y之间的线性相关程度：

• ρ=0：X与Y不相关（但注意：不相关不等于独立，只是没有线性关系）
• |ρ|=1：X与Y完全线性相关
• X与Y独立⇒ρ=0（独立一定不相关），但逆命题不成立，除非(X,Y)服从二维正态分布

四、切比雪夫不等式

P{|X-μ|≥ε}≤σ²/ε²

这个不等式不需要知道X的具体分布，只需要知道期望和方差，就能对X偏离期望的概率给出一个上界估计。

例：设E(X)=μ，D(X)=σ²，用切比雪夫不等式估计P{|X-μ|<3σ}。

P{|X-μ|<3σ} ≥ 1 - σ²/(3σ)² = 1 - 1/9 = 8/9
即任何随机变量，其值落在均值附近三倍标准差范围内的概率至少为8/9。

五、中心极限定理

中心极限定理是概率论中最重要的定理之一。它指出：大量独立同分布的随机变量之和（或均值）近似服从正态分布，无论这些随机变量本身的分布是什么。

设X₁,...,Xn独立同分布，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ²，则当n充分大时：
Sn=X₁+...+Xn ~ N(nμ, nσ²) 近似成立

→ n→∞

N(μ, σ²/n)
近似正态分布

中心极限定理解释了为什么正态分布在自然界和工程中如此常见——许多随机现象可以视为大量独立随机因素的总和。

保险公司盈利问题（2024真题）：500辆车，每辆事故概率0.006，保费800元，赔偿50000元，求赚钱≥200000元的概率。

每辆车的盈利Xi：
不出事（概率0.994）：盈利800元
出事（概率0.006）：盈利800-50000=-49200元
E(Xi)=800×0.994+(-49200)×0.006=500
D(Xi)=E(Xi²)-500²
E(Xi²)=800²×0.994+(-49200)²×0.006≈14,901,200
D(Xi)≈14,901,200-250,000=14,651,200

总盈利S=ΣXi，E(S)=500×500=250,000
D(S)=500×14,651,200=7,325,600,000，σ(S)≈85,592
P{S≥200,000}=P{Z≥(200,000-250,000)/85,592}
=P{Z≥-0.584}=Φ(0.584)≈0.720

保险公司有约72%的概率盈利不低于20万元。