PROB-02 随机变量及其分布

一、常见分布速查

分布	参数	P(X=k)或f(x)	E(X)	D(X)	典型应用
二项分布 B(n,p)	n试验次数,p成功概率	C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)	np	np(1-p)	n次独立重复试验的成功次数
泊松分布 P(λ)	λ 平均发生率	e^(-λ)λ^k/k!	λ	λ	单位时间内随机事件发生次数
均匀分布 U(a,b)	a,b 区间端点	1/(b-a)	(a+b)/2	(b-a)²/12	等可能地取区间内任意值
指数分布 Exp(λ)	λ 失效率	λe^(-λx), x>0	1/λ	1/λ²	寿命、等待时间
正态分布 N(μ,σ²)	μ均值,σ标准差	φ(x)=(1/σ√(2π))e^(-(x-μ)²/2σ²)	μ	σ²	自然和社会科学中最常用的分布

正态分布是概率论中最重要的分布。它的概率密度函数呈钟形，以μ为对称轴，σ决定了曲线的"胖瘦"——σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越瘦高。标准化公式Z=(X-μ)/σ使任何正态分布都能转化为标准正态分布N(0,1)，通过查表计算概率。

分布函数F(x)=P{X≤x}描述了随机变量取值不超过x的概率。这是一个单调不减的右连续函数，取值范围为[0,1]。

概率密度函数f(x)是连续型随机变量分布函数的导数。f(x)本身不是概率，它在某区间的积分才是概率：P{a<X≤b}=∫ab f(x)dx。

求连续型随机变量X的分布函数F(x)，就是对f(x)从-∞到x分段积分。需要特别注意分段点的处理。

已知X的分布，求Y=g(X)的分布是考试中的常见题型。

离散型：列出所有可能的Y值，合并相同Y值的概率。

连续型：先求分布函数F_Y(y)=P{g(X)≤y}，再对y求导得到概率密度f_Y(y)。这是"先积分后求导"的通用方法。

例：设X~Exp(1)，求Y=2X+1的概率密度。

f_X(x)=e^(-x), x>0
F_Y(y)=P{2X+1≤y}=P{X≤(y-1)/2}=1-e^(-(y-1)/2), y>1
f_Y(y)=d/dy F_Y(y)=(1/2)e^(-(y-1)/2), y>1

二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)描述了X和Y共同取值的概率分布。单个变量的分布称为边缘分布，通过对另一个变量积分得到：

f_X(x)=∫f(x,y)dy, f_Y(y)=∫f(x,y)dx

X与Y相互独立的充要条件是：f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y)，对所有x,y成立。

例：设(X,Y)的联合概率密度f(x,y)=xy, 0<x<1, 0<y<2，判断X与Y是否独立。

f_X(x)=∫₀² xy dy = x·[y²/2]₀² = x·2 = 2x, 0<x<1
f_Y(y)=∫₀¹ xy dx = y·[x²/2]₀¹ = y/2, 0<y<2
f_X(x)·f_Y(y)=2x·(y/2)=xy=f(x,y)
所以X与Y相互独立

联合密度函数的积分必须为1：∫∫f(x,y)dxdy=1。利用这一性质可以求出未知常数。

例（接上题）：验证常数c=1。∫₀¹∫₀² c·xy dy dx = c·(∫₀¹xdx)·(∫₀²ydy) = c·(1/2)·2 = c = 1 ✓

理解边缘分布和条件分布的区别是学习二维随机变量的关键：

独立性判定是考试中的常考问题。判定方法为：