PROB-01 概率论基础

一、古典概型

古典概型是最简单的概率模型。它要求试验满足两个条件：样本空间只有有限个样本点，且每个样本点出现的可能性相同。在古典概型下，事件A的概率定义为：

P(A) = A包含的样本点数 / 样本空间的总样本点数

排列与组合的区分：排列考虑顺序（如"排队"问题），组合不考虑顺序（如"选人"问题）。使用时务必根据问题背景判断。

二、条件概率与公式体系

2.1 条件概率

条件概率描述的是"在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率"：

P(A|B) = P(AB) / P(B)

条件概率的核心思想是缩小样本空间——已知B发生后，可能的样本点缩减为B包含的那些。

2.2 乘法公式

乘法公式是条件概率的直接推论：

P(AB) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)

乘法公式用于计算多个事件同时发生的概率。当事件数量较多时，可以逐步展开：P(A₁A₂A₃) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)

2.3 全概率公式

全概率公式用于"由因推果"场景。如果事件A的发生受到多个互不相容的原因B₁,...,Bn的影响，且这些原因构成了样本空间的一个划分，那么：

P(A) = ΣP(Bi)P(A|Bi)

典型应用场景：一批产品由多个工厂生产，每个工厂的次品率不同，求从这批产品中随机抽取一个产品是次品的概率。

2.4 贝叶斯公式

贝叶斯公式是全概率公式的逆向应用——"由果推因"。已知结果A发生了，反推是由Bi引起的概率：

P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi) / ΣP(Bj)P(A|Bj)

贝叶斯公式在实际中有着广泛的应用。例如垃圾邮件过滤——根据邮件内容推断它是垃圾邮件的概率。

三、典型例题精讲

例1（2024真题）：将标号为1,2,3,4的四个球随机排成一行，求第1号球在最右边或最左边的概率。

总排列数：4! = 24
1号球在最左边：3! = 6种（剩余3个球任意排列）
1号球在最右边：3! = 6种
P = (6+6)/24 = 1/2

例2（2024真题）：两人约定8点至9点会面，先到者等候15分钟，过时离去，求两人能见面的概率。

这是一个几何概型问题。设两人到达时间分别为x和y（以分钟为单位），x,y∈[0,60]。
能见面的条件是|x-y|≤15，即两人到达时间差不超过15分钟。
在60×60的坐标系上，能见面的区域是"带状"区域，面积=60×60 - 2×(1/2×45×45) = 3600-2025=1575
P = 1575/3600 = 7/16

例3（2024真题 - 贝叶斯公式）：将两信息分别编码为A和B发送。A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01。信息A与B传送频繁程度为3:1。若收到的是A，求原发信息也是A的概率。

设事件：
H₁ = "发出A"，H₂ = "发出B"
E = "收到A"

P(H₁) = 3/4, P(H₂) = 1/4
P(E|H₁) = 1 - 0.02 = 0.98 （发出A且正确收到A）
P(E|H₂) = 0.01（发出B被误收作A）

由贝叶斯公式：
P(H₁|E) = P(H₁)P(E|H₁) / [P(H₁)P(E|H₁) + P(H₂)P(E|H₂)]
= (0.75×0.98) / (0.75×0.98 + 0.25×0.01)
= 0.735 / 0.7375 ≈ 0.9966

所以收到的信息是A时，原发信息也是A的概率约为99.66%。

例4（2017 年数一真题改编）：三个人独立地猜谜语，各人能猜出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4。求至少有一人能猜出的概率。

P(至少一人猜出) = 1 - P(三人均猜不出)
P(三人均猜不出) = (4/5)×(2/3)×(3/4) = 24/60 = 2/5
P(至少一人猜出) = 1 - 2/5 = 3/5

逻辑验证：三个人单独概率在0.2-0.33之间，至少一人猜出概率应该在0.488-0.6之间，3/5=0.6在合理范围内。